Πιθανότητες και Στατιστική

Στόχοι Μαθήματος

Σκοπός του μαθήματος είναι η ανάπτυξη βασικών δεξιοτήτων για τη μοντελοποίηση και τη μαθηματική ανάλυση φαινομένων στα οποία υπεισέρχεται τυχαιότητα. Επίσης η κατανόηση βασικών τεχνικών για τη στατιστική ανάλυση δεδομένων. Στο τέλος του μαθήματος ο εκπαιδευόμενος-φοιτητής θα πρέπει να είναι σε θέση: να μοντελοποιεί διαδικασίες και καταστάσεις που εμφανίζονται στην καθημερινή πραγματικότητα ή σε άλλες επιστημονικές περιοχές στο πλαίσιο της Θεωρίας Πιθανοτήτων να κατανοεί τις βασικές έννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων, όπως την έννοια του δειγματικού σημείου, του δειγματικού χώρου, του ενδεχομένου, της πιθανότητας, της δεσμευμένης πιθανότητας, της τυχαίας μεταβλητής κλπ. να μπορεί να κάνει βασικούς υπολογισμούς πιθανοτήτων, μέσων τιμών, διασπορών κλπ. σε προβλήματα που εμπεριέχουν τυχαιότητα. να χρησιμοποιεί επιχειρήματα δέσμευσης για τους υπολογισμούς πιθανοτήτων, μέσων τιμών, διασπορών κλπ. σε προβλήματα που εμπεριέχουν τυχαιότητα να αντιλαμβάνεται διαισθητικά τα βασικά οριακά θεωρήματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων (νόμοι των μεγάλων αριθμών, κεντρικό οριακό θεώρημα) και να μπορεί να τα χρησιμοποιεί σε προσεγγιστικούς υπολογισμούς πιθανοτήτων. να μπορεί να πραγματοποιεί απλές στατιστικές αναλύσεις δεδομένων, χρησιμοποιώντας βασικές τεχνικές από την εκτιμητική, τα διαστήματα εμπιστοσύνης και τους ελέγχους υποθέσεων.

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

Είναι απαραίτητη η προγενέστερη επαφή του φοιτητή με τις βασικές έννοιες και τεχνικές Απειροστικού Λογισμού μιας και πολλών μεταβλητών. Ειδικότερα υπολογιστικά θέματα όπως υπολογισμοί ολοκληρωμάτων και αθροισμάτων θα πρέπει να είναι οικεία στους φοιτητές. Η επαφή με κάποιο μάθημα Διακριτών Μαθηματικών, αν και όχι απαραίτητη, είναι επιθυμητή.

Περιεχόμενα

Το μάθημα στοχεύει στην ανάπτυξη βασικών δεξιοτήτων για τη μοντελοποίηση και τη μαθηματική ανάλυση φαινομένων στα οποία υπεισέρχεται τυχαιότητα. Επίσης περιλαμβάνει μια εισαγωγή στην κλασική στατιστική συμπερασματολογία. Η δομή του έχει ως εξής: Δειγματικός χώρος και ενδεχόμενα. Αξιωματική θεμελίωση της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Δεσμευμένη πιθανότητα. Θεώρημα ολικής πιθανότητας και κανόνας του Bayes. Ανεξαρτησία. Βασικές αρχές απαρίθμησης. Πεπερασμένοι δειγματικοί χώροι και κλασική πιθανότητα. Διακριτές τυχαίες μεταβλητές: Συνάρτηση (μάζας) πιθανότητας, μέση τιμή και διασπορά. Πολυδιάστατες διακριτές τυχαίες μεταβλητές: Από κοινού συνάρτηση (μάζας) πιθανότητας, δέσμευση, ανεξαρτησία. Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές: Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, μέση τιμή και διασπορά. Πολυδιάστατες συνεχείς τυχαίες μεταβλητές: Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, δέσμευση, ανεξαρτησία. Κατανομές συναρτήσεων τυχαίων μεταβλητών. Συνδιακύμανση (συνδιασπορά) και συσχέτιση. Δεσμευμένη μέση τιμή και διασπορά. Νόμος των Μεγάλων Αριθμών και Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Εισαγωγή στην κλασική στατιστική συμπερασματολογία. Εισαγωγή στην εκτιμητική και στα διαστήματα εμπιστοσύνης. Γραμμική παλινδρόμηση Εισαγωγή στους Ελέγχους υποθέσεων.